全国2013年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1.设
A、
B为同阶方阵,则必有
A.|
A+
B|=|
A|+
|B| B.
AB=
BA
C.(
AB)
T=
ATBT D.|
AB|=|
BA|
2.设
n阶方阵
A、
B、
C满足
ABC=
E,则必有
A.
ACB=
E B.
CBA=
E
C.
BCA=
E D.
BAC=
E
3.设
A为三阶方阵,且|
A|=2,则|-2
A|=
A.-16 B.-4
C.4 D.16
4.若同阶方阵
A与
B等价,则必有
A.|
A|=|
B| B.
A与
B相似
C.
R(
A)=
R(
B) D.
5.设
α1= (1,0,0)、
α2=(2,0,0)、
α3=(1,1,0),则
A.
α1,、
α2、
α3线性无关 B.
α3可由
α1、α
2线性表示
C.
α1可由
α2、
α3线性表示 D.
α1、
α2、
α3的秩等于3
6.设向量空间
V={ (
x1,
x2,
x3)|
x1+
x2+
x3=0},则
V的维数是
A.0 B.1
C.2 D.3
7.若3阶方阵
A与对角阵
=相似,则下列说法错误的是
A.|
A|=0 B.|
A+
E|=0
C.
A有三个线性无关特征向量 D.
R(
A)=2
8.齐次方程
x1+
x2-
x3=0的基础解系所含向量个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
9.若
α=(1,1,
t)与
β=(1,1,1)正交,则
t=
A.-2 B.-1
C.0 D.1
10.对称矩阵
A=是
A.负定矩阵 B.正定矩阵
C.半正定矩阵 D.不定矩阵
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设
A、
B均为三阶可逆方阵,且|
A|=2,则|-2
B-1A2B|=__________.
12.四阶行列式中项
α21α32α13α44的符号为_____________.
13.设
A=,则
A-1=________________.
14.设
A=,且
R(
A)=2,则
t=_____________.
15.设三阶方阵
A=[
α1, α2, α3],其中
αi为
A的3维列向量,且|
A|=3,若
B=[α1, α1+
α2, α1+
α2+
α3],则|
B|=_________.
16.三元方程组的结构解是________.
17.设
A=,则
A的特征值是____________.
18.若三阶矩阵
A的特征值分别为1,2,3,则|
A+2
E|=____________.
19.若
A=与
B=相似,则
x=__________.
20.二次型
f(
x1,
x2,
x3)=(
x1-
x2+
x3)
2对应的对称矩阵是_________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算四阶行列式.
22.设
A=,
B是三阶方阵,且满足
AB-A2=
B-
E,求
B.
23.求向量组的一个最大无关组,并把其余向量表示为这个最大无关组的线性组合.
24.设四元方程组,问
t取何值时该方程组有解?并在有解时求其结构解.
25.已知
A=的一个特征向量是=(1,1,-1)
T
(1)求
a,
b;
(2)求
A的全部特征值及特征向量.
26.求正交变换
X=
PY,化二次型f(
xl,x2,
x3)=-2
x1x2+2
x1x3+2
x2x3为标准形.
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.设
A为非零方阵,若存在正整数
m,使
Am=0,证明
A必不能相似于对角矩阵.
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